Algebra: Anwendungsorientierte Mathematik by Gert Böhme

By Gert Böhme

Das mehrb?ndige Lehrbuch bildet - didaktisch geschickt - eine Br?cke zwischen einer rein theoretischen Darstellung und der angewandten Mathematik. Das Werk ist leicht verst?ndlich und - durch die ausgef?hrten Beispiele - besonders anwendungsorientiert. Es ist aus Servicevorlesungen hervorgegangen. Am Anfang dieses Kurses steht die Algebra; dieser Band hat ?ber die klassischen Themen hinaus durch ein Kapitel Fuzzy-Algebra an Aktualit?t und Wert gewonnen. Die einzelnen B?nde sind in sich abgeschlossen und separat einsetzbar. Sie sind additionally nicht nur zum Gebrauch neben Vorlesungen, sondern auch zum Selbststudium geeignet, insbesondere f?r Studienanf?nger.

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Dies ist jedoch unmoglich, da R als Aquivalenzrelation reftexiv ist, mithin jedes x EMmit wenigstens einem Element aquivalent ist: (x, x)ER. Damit ist [x] 9= 0 und XE[X]. Beispiel: Restklassen. Kongruenzen Es sei Reine Relation auf No mit der Vorschrift: Rxy genau dann, wenn x und y bei Division durch 3 den gleichen Rest lassen, formal dargestellt durch die "Kongruenz" Rxy~: x == y mod 3 (lies: "x kongruent y modulo 3"), also R = {(x,y)lxENoAYENoAx == ymod3} Der Leser rechne nach: (17; 8)ER, (31; 1(0)ER, (22; 27)$R.

Damit haben wir einen "zweiten Typ" von Ordnungsrelationen gefunden. Definition Eine Relation R auf M mit den Eigenschaften reflex iv, transitiv und identitiv (antisymmetrisch) heiBt (nicht-strenge) Ordnungsrelation. Eine Relation R auf einer Menge M mit den Eigenschaften asymmetrisch und transitiv heiBt eine strenge Ordnungsrelation. Zu den strengen Ordnungsrelationen gehoren Relationen mit Vorschriften wie "x ist kleiner als y", "x ist echte Teilmenge von y", "x kommt in der Warteschlange vor y", "x ist von besserer Qualitat als y".

1\ 1\ [(x, y) E R -+ (y, x) E R] xeG yeG Bei anschaulicher Darstellung einer symmetrischen Relation durch einen Relationsgraph (Rxy wird mit einem Pfeil von x nach y, Rxx durch eine Schlaufe symbolisiert) kommen ausschlieBlich Doppelpfeile oder Schlaufen, also keine Einfachpfeile vor (Abb. 18). Stehen x, y fUr Zahlen, so kann man sich auch des iiblichen kartesischen Koordinatensystems bedienen und erkennt dann die Symmetrieeigenschaft an der spiegelbildlichen Lage der Punkte beziiglich der Winkelhalbierenden von x- und y-Achse (Abb.

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