Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quick dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann speedy unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 31 nehmen. , xn Lösungen sind und dass es keine anderen Lösungen gibt. Man braucht also nur die Terme auszumultiplizieren und erhält dann eine Gleichung mit der gewünschten Eigenschaft. Insbesondere erklärt der Vieta’sche Wurzelsatz auch eine bereits von Cardano in seiner Ars magna niedergeschriebene Beobachtung. Dieser hatte für einige Gleichungen der Form x3 + bx = ax2 + c drei Lösungen gefunden und bemerkt, dass die Summe der Lösungen jeweils mit dem Koeffizienten a des quadratischen Terms übereinstimmen24.

A0 Ein Umlauf auf einem Kreis mit genügend großem Radius um den Nullpunkt (links) wird durch ein Polynom n-ten Grades in einen n-maligen Umlauf innerhalb eines Kreisrings mit 0 im Zentrum abgebildet (rechts). Das mittlere Teilbild zeigt die Kurve zur höchsten Potenz zn und an zwei beispielhaften Stellen deren maximale „Störung“ durch die Polynomterme zu den niedrigeren Potenzen. Wir wollen uns nun überlegen, wie die Bewegung einer komplexen Zahl z auf einem Kreis mit Radius R um den Nullpunkt durch das Polynom f (z) transformiert wird.

Unabhängig von Details ist es für uns einzig wichtig, dass „alles stetig ist“. Da wir auf eine Präzisierung im Rahmen der Plausibilitätsbetrachtung bewusst verzichten wollen, beschränken wir uns auf eine verbale Beschreibung der Konsequenzen: Unabhängig vom Radius des Ausgangskreises, den der Punkt z durchläuft, bilden die entsprechenden Bildpunkte f (z) stets eine geschlossene Kurve, die nirgends eine „Lücke“ aufweist. Außerdem können die Änderungen, welche die Kurve bei einer Veränderung des Radius des Ausgangskreises erfährt, beliebig klein gehalten werden, wenn die Veränderung des Radius nur genügend beschränkt wird.

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