Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik by Gisbert Wüstholz

By Gisbert Wüstholz

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Dies bedeutet, dass gH = H gilt, ker ϕ∗ daher nur aus dem neutralen Element der Gruppe besteht und ϕ∗ somit injektiv ist. 39 sagt man, dass der Homomorphismus über die Gruppe G/H faktorisiert. 40 (Erster Isomorphiesatz) Es seien G eine Gruppe und H, K Normalteiler von G mit K ⊆ H. Dann ist K Normalteiler von H, und es gilt (G/K)/(H/K) G/H . Beweis Als Normalteiler von G ist K a fortiori auch ein Normalteiler von H. 39 ersetzen wir G und G durch G/K und G/H. Die Abbildung ϕ: G/K → G/H sei gegeben durch gK → gH.

43 Wir betrachten die additive Gruppe G = (Z/2Z) × (Z/2Z) × (Z/2Z) . Darin liegen die normalen Untergruppen H = {0} × (Z/2Z) × (Z/2Z) und K = (Z/2Z)×(Z/2Z)×{0}. Es gilt H +K = G, H ∩K = {0}×(Z/2Z)×{0}, und G/H kann mit der Untergruppe H ⊥ = (Z/2Z) × {0} × {0} identifiziert werden. Diese Menge bildet nämlich ein Repräsentantensystem, das (zufälligerweise) selbst eine Gruppe ist. In derselben Weise sieht man, dass K/(H ∩K) mit (Z/2Z)×{0}×{0}, also ebenfalls mit H ⊥ , identifiziert werden kann. Somit sind G/H und K/(H ∩K) isomorphe Gruppen, was die Aussage des zweiten Isomorphiesatzes ist.

28. SLn (K) ist ein Normalteiler von GLn (K), und die resultierende Faktorgruppe ist isomorph zur multiplikativen Gruppe K × von K. Zeige, dass GLn (K) das semidirekte Produkt dieser beiden Gruppen ist. 29. Es sei H ⊂ G eine Untergruppe vom Index 2. Zeige, dass es einen surjektiven Homomorphismus von G nach Z/2Z gibt. Hinweis: H operiert auf G durch Linksmultiplikation. Stelle eine Gruppentafel für die Bahnen auf; zeige dazu, dass B −1 = B für jede Bahn gilt. 30. Weise nach, dass die inneren Automorphismen int(G) von G einen Normalteiler in Aut(G) bilden.

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