Algebra II by Marc A. Nieper-Wißkirchen
By Marc A. Nieper-Wißkirchen
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8. Sei A ein kommutativer Ring. Eine kommutative A-Algebra B heißt eine A-Algebra endlichen Typs, falls endlich viele Elemente b1 , . . , bn ∈ B existieren, so daß jedes Element von B als Polynom in den bi mit Koeffizienten aus A geschrieben werden kann. Es ist B also genau dann eine A-Algebra endlichen Typs, falls ein surjektiver AAlgebrenhomomorphismus von einem Polynomring A[x1 , . . , xn ] auf B existiert. 9. Ein kommutativer Ring B heißt endlich erzeugt, falls er eine Z-Algebra endlichen Typs ist.
Die Elemente von C können wir uns als formale Linearkombinationen ai (xi , yi ) mit ai ∈ A, xi ∈ M, yi ∈ N i=1 vorstellen. 2. Sei D der von allen Elementen der Form (x + x , y) − (x, y) − (x , y), (x, y + y ) − (x, y) − (x, y ), (ax, y) − a(x, y), (x, ay) − a(x, y) mit x, x ∈ M , y, y ∈ N und a ∈ A erzeugte Untermodul von C. 3. Wir setzen T := C/D. Wir schreiben x ⊗ y ∈ T für das Bild des Elementes (x, y) ∈ C in T . Beweis der universellen Eigenschaft. 1. Damit ist T erzeugt von Elementen der Form x ⊗ y, wobei folgende Gleichungen gelten: (x + x ) ⊗ y = x ⊗ y + x ⊗ y, (ax) ⊗ y = a(x ⊗ y), x ⊗ (y + y ) = x ⊗ y + x ⊗ y , x ⊗ (ay) = a(x ⊗ y).
Sei 0 → M 0 −→ M 1 −→ · · · → M n → 0 eine exakte Sequenz von n Moduln in C, so daß auch die Kerne der φi zu C gehören. Dann gilt (−1)i λ(M i ) = 0. i=0 Beweis. 1. Die exakte Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen der Form 0 → i N → M i → N i+1 → 0 (mit N 0 = N n+1 = 0), wobei N i ∈ C. 2. Daher gilt λ(M i ) = λ(N i )+λ(N i+1 ). Addieren wir diese Gleichungen alternierend, hebt sich die rechte Seite weg. 1 Bilineare Abbildungen und das Tensorprodukt Sei A ein kommutativer Ring. 1. Seien M, N, P drei A-Moduln.