Allgemeine Algebra: mit einem Anhang „Abstrakte Datentypen“ by Thomas Ihringer

By Thomas Ihringer

Das vorliegende Lehrbuch wendet sich vor allem an Studenten der Ma­ thematik, aber auch an Studenten der Informatik und ganz allgemein an mathematisch vorgebildete Leser mit Interesse an moderner Algebra. In erster Linie kann guy die Allgemeine Algebra als eine übergreifende Theo­ rie der verschiedenen algebraischen Einzeldisziplinen (wie z. B. Gruppen-, Ring-und Verbandstheorie) verstehen, in der die diesen Gebieten gemein­ samen Phänomene und Methoden herausgearbeitet werden. Daruberhinaus hat die Allgemeine Algebra, wie jedes andere eigenständige mathematische Gebiet, ihre eigenen Methoden und Betrachtungsweisen entwickelt. Die­ ses Buch möchte eine Einführung in grundlegende Begriffe und Ergebnisse der Allgemeinen Algebra geben. Die ersten sieben Kapitel behandeln den Standardstoff einer Einführungsvorlesung in die Allgemeine Algebra. In den beiden restlichen Kapiteln werden dann zwei der faszinierendsten Entwick­ lungen der letzten Jahre vorgestellt, nämlich die Kommutatortheorie der Allgemeinen Algebra sowie R. McKenzies völlig neuartige Strukturtheorie endlicher Algebren. Die aktuelle Bedeutung der Allgemeinen Algebra liegt aber nicht nur in der Entwicklung interessanter, weitreichender Methoden innerhalb des Gebiets selbst, sondern auch in den engen Verbindungen zu verschiedenen Bereichen der Informatik, so daß Kenntnisse in Allgemeiner Algebra gerade aus Sicht der Informatik nützlich sind. Neue Begriffe werden in diesem Buch nach Möglichkeit erst dort ein­ geführt, wo sie wirklich benötigt werden. Dadurch soll die Theorie auch für den Anfänger durchschaubar bleiben, und gleich im ersten Kapitel kann mit den Grunddefinitionen der Allgemeinen Algebra begonnen werden, ohne die sonst oft üblichen Vorschübe über Mengen, Hüllensysteme, Verbände oder Kategorien.

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Größere Algebren erhält man beispielsweise mit direkten Produkten oder (allgemeiner) mit subdirekten Produkten, die aber erst in Kapitel 5 eingeführt werden. Zuvor werden die hier vorgestellten wichtigen Strukturbegriffe Unteralgebra, Kongruenzrelation, und Homomorphismus in den folgenden drei Kapiteln sehr genau untersucht: In den Kapiteln 2 und 3 werden die mit den Systemen von Unteralgebren bzw. 6 Aufgaben und Isomorphiesätze in der Sprache der Allgemeinen Algebra formuliert und bewiesen. Spezielle Literaturhinweise werden für dieses Kapitel ausnahmsweise nicht gegeben.

3 Es sei A eine Menge. Eine Abbildung C : P(A) -+ P(A) heißt Hüllenoperator auf A, falls für alle Teilmengen X, Y gilt: (i) (ii) (iii) ~ A folgendes X ~ C(X) (Extensivität), X ~ Y ::} C(X) ~ C(Y) (Monotonie), C(X) = C(C(X)) (Idempotenz). Man nennt die Mengen der Form C(X) abgeschlossen, und sagt, daß C(X) von X erzeugt ist. A der kleinsten X umfassenden Unteralgebra zuordnet, ein Hüllenoperator. Besonders gut bekannt ist diese Situation speziell für Vektorräume (vgl. Aufgabe 7 in Kapitell). 4 Es sei 1i ein Hüllensystem auf A.

Bestimmen Sie die kompakten Elemente der Verbände (P(A), ~), (Eq A, ~) (A eine beliebige Menge) und von (IN U {oo } U {c}, ::;) (siehe folgende Skizze). Welche dieser Verbände sind algebraisch? 10. Man finde eine Algebra A mit Sub A ~ (IN U {oo}, ::;). Wieviele fundamentale Operationen muß so eine Algebra mindestens haben? 50 3 Kongruenzrelationen, Galoisverbindungen und Verbände 3 Kongruenzrelationen, Galoisverbindungen und Verbände Die Beziehung zwischen den fundamentalen Operationen und den Kongruenzrelationen einer Algebra (nämlich die Verträglichkeit) führt direkt zu einem weiteren wichtigen Denlanuster, das mathematisch im Begriff der Galoisverbindung eingefangen wird.

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